CM2 – Probabilités : deux lancers et arbre des possibles (Leçon + Exercice)
Une leçon claire, puis un exercice pour vérifier que la notion est comprise.
Quand on lance une pièce équilibrée, on peut obtenir pile ou face. Si on la lance deux fois, plusieurs suites de résultats sont possibles. Comment être sûr de toutes les trouver ? Un arbre des possibles et un tableau à double entrée nous aident à les organiser.
📘 La leçon : deux lancers, quelles possibilités ?
1. Une expérience en deux étapes
On lance deux fois la même pièce équilibrée : à chaque lancer, pile (P) et face (F) sont aussi probables. Le premier résultat ne décide pas du deuxième.
Exemples : PP signifie « pile, puis pile » ; PF signifie « pile, puis face ». L’ordre compte : PF et FP sont deux suites différentes.
2. Dénombrer les quatre issues
Au premier lancer, deux choix sont possibles. Après chacun de ces résultats, le deuxième lancer offre à nouveau deux choix :
- Premier lancer P → deuxième lancer P ou F : PP, PF.
- Premier lancer F → deuxième lancer P ou F : FP, FF.
Nous obtenons donc 4 issues distinctes : PP, PF, FP et FF. Elles sont équiprobables car la pièce est équilibrée et les deux lancers sont indépendants.
3. L’arbre des possibles
Un arbre commence par deux branches pour le premier lancer. Puis chaque branche se partage de nouveau en deux branches pour le deuxième lancer. Les quatre chemins complets correspondent aux quatre issues possibles.
🧭 Ma méthode pour réussir
- Je repère le nombre d’étapes : ici, deux lancers.
- Je trace deux branches pour le premier lancer : P et F.
- Je complète chacun des deux chemins par P ou F pour le second lancer.
- Je compte toutes les issues possibles sans en oublier ni en répéter.
- Je compte les issues favorables à l’événement demandé.
4. Exprimer des chances sur quatre
Les quatre issues PP, PF, FP et FF sont aussi probables. Obtenir pile puis pile correspond à une seule issue : 1 chance sur 4.
Obtenir exactement une fois pile correspond à PF ou FP : 2 chances sur 4, soit une chance sur deux.
Obtenir au moins une fois face correspond à PF, FP et FF : 3 chances sur 4.
5. Une idée essentielle : l’indépendance
Si le premier lancer donne pile, le deuxième peut encore donner pile ou face avec la même chance : 1 chance sur 2 pour chaque côté. La pièce ne « se souvient » pas du lancer précédent.
📊 Le tableau à double entrée
Le premier lancer est lu sur les lignes, le deuxième lancer sur les colonnes. Chacune des quatre cases représente une issue différente.
| 1er / 2e lancer | Pile | Face |
|---|---|---|
| Pile | PP | PF |
| Face | FP | FF |
Exercice guidé
Question : combien de chemins permettent d’obtenir au moins une fois pile ?
Étape 1 : j’énumère les quatre issues : PP, PF, FP, FF.
Étape 2 : je sélectionne celles contenant au moins un P : PP, PF, FP.
Réponse : il y a 3 chemins favorables sur 4, soit trois chances sur quatre.
Activité autonome
Sur une feuille, dessine l’arbre de deux lancers. Entoure en vert les chemins contenant deux faces, puis en bleu les chemins contenant exactement une face. Vérifie : deux faces → FF (1 chemin) ; exactement une face → PF et FP (2 chemins).
💡 À retenir
- Deux lancers d’une pièce équilibrée donnent 4 issues possibles : PP, PF, FP et FF.
- L’ordre compte : PF n’est pas FP.
- Un arbre et un tableau à double entrée évitent les oublis.
- On exprime les chances sous la forme « a chances sur b » lorsque les issues sont équiprobables.
- Deux lancers sont indépendants : le premier résultat ne change pas les chances au second.
✏️ L’exercice : explorer les quatre issues
Réponds aux 12 questions interactives. Pour chacune, une seule des trois propositions est juste. Après chaque réponse, lis l’explication et compare-la à l’arbre ou au tableau.
Objectif : compter les résultats possibles, comparer les chances et comprendre l’indépendance des lancers.